Quipus, Arica y Aritmética Andina

Quipus, Arica y Aritmética Andina

Renato Aguirre Bianchi
Los quipus (khipu, nudo en quechua) son un invento preincaico de cordeles ("colgantes") de lana, pelo de auquénido o algodón, amarrados a una cuerda principal más grueso, provisto de la posibilidad de amarrar cordeles subsidiarios a los colgantes y así sucesivamente, que permitía guardar información sin utilizar grafemas sino un complejo conjunto de percepciones visuales y táctiles.

Aparecen durante el Período Intermedio Medio, a mediados del primer milenio d.C., cuando el Mundo Andino estaba dominado por el Imperio Wari centrado en Ayacucho, en la sierra al norte de Perú, y el Tiwanaku, en las riberas del Lago Titicaca.

El Mundo Andino careció de escritura. Cierto, pero no precisamente exacto. Las grandes civilizaciones no americanas y la de Mesoamérica sí conocieron la escritura en la forma en que nosotros la entendemos, utilizando grafemas (imagen elemental utilizada por sí sola o en conjunto con otras para representar una idea). En su forma más primitiva, los grafemas representaban ideas --como los jeroglíficos y la escritura china-- y nó letras, pero luego se inventaron los grafemas fonéticos (letras pronunciables). Se puede afirmar con certeza que el Mundo Andino era ágrafo, pues carecía de grafemas, pero es discutible afirmar que carecía totalmente de escritura. 

Es posible que los khipus no se limitaran a consignar cifras sino que podían codificar hasta elaboraciones verbales, de sujeto/objeto y aún las relaciones cronológicas entre diversos eventos, pero el último de los khipukamayux, oficiales del Imperio Inca que sabían "escribir" y "leer" en los khipus, se llevó sus conocimientos de escriba a la tumba. Los presuntuosos conquistadores no hicieron ningún esfuerzo por comprender este sistema de almacenamiento de información y eventualmente sus propias y seguramente sesgadas estadísticas eran contradecidas por los datos que disponían los khipukamayux. La solución para este conflicto fue torpemente simple: se consiguió que en el Tercer Concilio de Lima en 1583, la Iglesia Católica declarara "objetos de idolatría" a los khipus, autorizando su destrucción. Ese era el estilo de interacción étnica que impusieron los "civilizados". 

Hoy se dispone de unos 600 khipus, los que están siendo intensamente estudiados pero, pese a los computadores y toda la ciencia actual, aún no pueden descifrarse más allá de lo elemental. La casi totalidad de los khipus proviene del Imperio Inca. Es notorio que en Arica (cementerio Miller a espaldas de la playa La Lisera y Mollepampa en el valle de Lluta) se observa la mayor concentración de khipus del Qullasuyu, una de las cuatro divisiones de imperio incaico (Tawantinsuyu), además de los dos más grandes ejemplares hasta ahora conocidos, el mayor de ellos de unos 3m de longitud y con más de 1.500 cuerdas. En la foto figura sostenido por uno de los pioneros autodidactas de la arqueología de Arica, Percy Dauelsberg y el famoso arqueólogo norteamericano Junius Bird.



Al sur de Arica ya no se encuentran khipus. Esto revela la gran importancia que Arica tuvo para el Tawantinsuyu, probablemente por su capacidad productiva, controlada por los incas desde el Tambo de Zapahuira en la precordillera, en vías de convertirse en un gran centro administrativo cuando apareció la catástrofe de la conquista.

La información se almacenaba en un orden jerárquico determinado por las cuerdas colgantes y subsidiarias El color de éstas, su torsión en uno u otro sentido y la ubicación y estilo de los nudos (simple, en forma de 8, de varias vueltas, etc.), eran los principales elementos de "escritura". Para las cuerdas destinadas a guardar cifras, había una ubicación y nudo específico para las unidades, decenas, centenas, etc., siguiendo un sistema decimal que concordaba con la ordenación jerárquica de las unidades sociales productivas de los incas. En el extremo distal de una cuerda de consignaban las unidades, con un nudo en 8 para el valor 1 y un nudo largo, de 2 a 9 vueltas para los valores respectivos. Más arriba iban nudos simples para las decenas, luego las centenas y así sucesivamente. En la foto hemos tratado de recrear el número 139.

Esta hermosa simplicidad permitía incluso la consideración de la más abstracta realidad de la aritmética: el concepto de cero (0), inventado sólo en contadas ocasiones en la historia de la humanidad. Para eso bastaba omitir el nudo en la ubicación correspondiente.

Este ordenamiento, que hoy nos puede parecer natural, demuestra lo asombrosamente sofisticado que era el sistema de anotación andino, pues utiliza el Principio de Posición para los números. Es decir, un 5 vale 5, 50, 500, etc., según su posición en la expresión numérica. Este evolucionado concepto matemático es de adquisición muy tardía y sólo fue descubierto pocas veces, empezando en Babilonia en el segundo milenio a.C., luego en China hace unos 2.000 años y en la primera mitad del primer milenio d.C. por los mayas y luego en la India. Nótese, por ejemplo, que los romanos utilizaban un engorroso sistema de anotación por la ausencia de este concepto: 1999 se escribía como MCMXCIX y la sola adición de una unidad transformaba la expresión a MM. Trate de sumar MCMXCIX más MM y se dará cuenta cuán primitivo era el sistema.

El Principio de Posición llevó a la invención del cero, primero como un símbolo (o ausencia de) para expresar ausencia en una posición numérica para los babilonios, mayas y andinos. No hay en el idioma quechua una expresión precisa similar a nuestro "cero" y se usan otros términos que puedn asimilarse a "nada" o "vacío". El cero sólo pasó a ser un número más, como hoy lo comprendemos (implicando el resultado de 10 menos 10 en vez de un mero "vacío"), en la India y los chinos sólo lo copiaron ulteriormente. En definitiva, quienes aún creen que los andinos eran "primitivos" tropiezan con el hecho de que, en cuanto a aritmética y dada la inmensa trascendencia del Principio de Posición y del cero, éstos superaron a todas las grandes civilizaciones con la excepción de los babilonios y mayas y sólo fueron superados por los indúes. Más aún, los andinos utilizaban un sistema numérico decimal (base 10) como el nuestro, mientras que los babilonios y mayas utilizaban una base 60 y 20 respectivamente. Así, por ejemplo, si "&" simboliza dos unidades de la magnitud correspondiente a una posición, "&&0&" sería:

En Babilonia: 2 x 12.960.000 + 2 x 3.600 + 0 x 60 + 2 x 1 = 25.927.202. Bastante enredado...

En Mesoamérica: 2 x 8.000 + 2 x 400 + 0 x 20 + 2 x 1 = 16.802. Un poco más simple...

Para los andinos: 2 x 1.000 + 2 x 100 + 0 x 10+ 2 x 1 = 2.202. Tal como lo entendemos hoy en todo el mundo (aunque no necesariamente mejor para ciertos cálculos)...

En un khipu, 2202 se escribiría mediante dos nudos simples en la posición de los miles, otros dos nudos simples en la de las centenas, ninguno en las decenas y un nudo largo de 2 vueltas en la de las unidades. Pero el tema es mucho más complejo y las cuerdas colgantes pueden estar agrupadas por una amarra en su unión con el cordel principal y/o tener cientos de colores o combinaciones de éstos, los nudos pueden hacerse con sus giros orientados hacia la derecha o la izquierda, al igual que la torsión de los cordeles y muchas otras variantes que permitieron guardar información no numérica de una manera que no comprendemos. Aún más, es probable que un khipu complejo no hubiera sido enteramente "leíble" más que para quien lo confeccionó.

Aunque la base 10 tiene ciertas desventajas en comparacón con la base 60 de los babilonios para cierto tipo de cálculos, el sistema de anotación de los últimos tiene un notorio defecto. Al carecer de un símbolo para el 0, no se puede discernir con certeza cómo termina la expresión numérica escrita en tablillas de arcilla, las que por lo demás eran pesadas, podían quebrarse y no podían ser corregidas una vez que el material se secaba (en contraste, los khipus eran corregibles, deformables, livianos y fáciles de transportar). Por ejemplo, el símbolo para 20 era "<<". Como única expresión escrita de una magnitud, "<<" puede significar 20 si uno adivina que hay que ubicarla en las unidades, pero al carecer de espacios predeterminados para especificar qué viene después, puede traducirse también como 1.200 (20 x 60) si se presume que no hay unidades. En los khipus, en cambio, bastaban dos nudos simples en la posición de las decenas y ninguno más abajo --en las unidades-- para expresar 20, o nada arriba y un nudo largo de dos vueltas al final de la cuerda para expresar "2".

Después de los incas los khipus perdieron su potencia en cuanto a expresión aritmética. En el ámbito aymara éstos se denominan chinu (amarra) y el que lo usaba se era un chinukamano. Entre otras anotaciones se llevaba cuenta del calendario haciendo nudos de tamaño creciente de julio a diciembre y decreciente durante los seis meses restantes.

En un artículo anterior decíamos que los andinos, aislados del resto del mundo, tuvieron que "inventar" una forma de vivir, sin el privilegio de incorporar concimientos de otras civilizaciones como ocurrió en Eurasia. ¿Qué de raro podría tener que adoptaran un sistema de anotación carente de grafemas?. Los "inteligentes" conquistadores nunca pudieron descifrar a los khipus, mientras los "primitivos" andinos aprendieron con rapidez a descifrar los grafemas hispanos. ¿Entonces, le parece a Ud. atinada la opinión de un profesional santiaguino enviado por el Estado durante la época de la chilenización de Arica, quien catologó a nuestros aborígenes como individuos cuyo intelecto no superaba al de las alpacas?. Sin embargo, los europeos conquistaron con extrema facilidad (y suerte) a los andinos. ¿Eran más inteligentes?. Ciertamente nó. Su superioridad tecnológica y guerrera se explica por diversos factores que nada tienen que ver con la inteligencia ni la superoridad individual. Tema para otro artículo que intenta explicar esta aparente contradicción (http://www.aricachile.net/renatoaguirre/derrotaandina.htm). En otro artículo decíamos que los incas fueron, para el Mundo Andino, más o menos lo que los romanos para el Mundo Helénico. Por ahora, basta con dejar a los romanos achunchados por su primitivo sistema de anotación numérica...